球界面的折射成像 –笛卡儿公式、造镜者公式

本文将以简单的几何推导，说明球状界面的折射成像情形，并推得笛卡儿及造镜者公式。

（一） 笛卡儿公式 (Descartes’ law)

（1）数学式：光自介质1射入介质2，其折射率分别为 n1 与 n2 ，且界面之曲率半径为 r ，其成像公式：

（2）证明：

（二）造镜者公式 (Lensmaker’s equation)

（1）数学式：设薄透镜两球面的曲率半径各为r1与r2、折射率为n2 ，而透镜周围介质的折射率为n1，则物体置于n1介质中经透镜两次折射成像，可视为由两个球界面成像之组合：

r1：入射光最先碰到的界面，凸面取正、凹面取负
r2：入射光第二碰到的界面，凸面取正、凹面取负

（2）证明：由笛卡儿公式得知，

（3）讨论：造镜者公式，包含环境因素（$$\displaystyle{n}_{12}-1$$  ）及几何因素

环境因素：
      a） $$\displaystyle{n}_{12}$$  >1 ，即透镜四周为光疏介质，则凸透镜会聚焦、凹透镜会发散。
b） $$\displaystyle{n}_{12}$$ <1 ，即透镜四周为光密介质，则凸透镜会发散、凹透镜会聚焦。

几何因素：
      a） → 凸透镜。

参考资料
1.台湾师大物理系 物理教学示範实验教室  http://www.phy.ntnu.edu.tw/moodle/
2.维基百科–透镜  http://en.wikipedia.org/wiki/Lens_(optics)
3.Bradley W. Carroll and Dale A. Ostlie（1996），「AN INTRODUCTION TO MODERN ASTROPHYSICS」，Addison-Wesley Publishing Company